2021河南科技大學數學分析研究生考試大綱

發布時間：2020-11-11 編輯：考研派小莉 推薦訪問：
2021河南科技大學數學分析研究生考試大綱

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2021河南科技大學數學分析研究生考試大綱 正文

    河南科技大學2021年碩士生招生考試初試
    自命題科目考試大綱
    學院名稱科目代碼科目名稱說明
    數學與統計學院636數學分析
    說明欄：各單位自命題考試科目如需帶計算器、繪圖工具等特殊要求的，請在說明欄里加備注。
    河南科技大學碩士研究生招生考試
    《數學分析》考試大綱
    考試科目代碼：636考試科目名稱：數學分析
    一、考試基本要求及適用范圍概述
    《數學分析》考試大綱適用于“基礎數學”、“計算數學”、“概率論與數理統計”、“應用數學”、“運籌學與控制論”等專業的碩士研究生入學考試。本課程考試旨在考查學生對數學分析的基礎理論和基本知識掌握的程度，以及運用所學理論和知識解決相關問題的能力。
    二、考試形式
    本課程考試形式為閉卷筆試，考試時間180分鐘，總分150分。
    三、考試內容
    (一)實數集與函數
    1.實數及其性質、絕對值與不等式2.數集、確界原理3.函數的定義、表示法、四則運算、復合函數4.具有某些特性的函數
    (二)數列極限
    1.數列極限概念2.收斂數列的性質3.數列極限存在的條件
    (三)函數極限
    1.函數極限概念2.函數極限的性質3.函數極限存在的條件4.兩個重要的極限5.無窮小量與無窮大量
    (四)函數連續性
    1.連續性概念2.連續函數的性質3.初等函數的連續性
    (五)導數和微分
    1.導數的概念2.求導法則3.參變量函數的導數4.高階導數5.微分
    (六)微分中值定理及其應用
    1.拉格朗日定理和函數的單調性2.柯西中值定理和不定式極限3.泰勒公式4函數的極值與最大(小)值5.函數的凸性與拐點
    (七)實數完備性
    1.關于實數集完備性的基本定理2.上極限和下極限
    (八)不定積分
    1.不定積分概念與基本積分公式2.換元積分法與分部積分法3.有理函數和可化為有理函數的不定積分
    (九)定積分
    1.定積分概念2.牛頓-萊布尼茨公式3.可積條件4.定積分的性質與計算
    (十)定積分的應用
    1.平面圖形的面積2.由平行截面面積求體積3.平面曲線的弧長與曲率
    (十一)反常積分
    1.反常積分概念2.無窮積分的性質與收斂判別3.瑕積分的性質與收斂判別
    (十二)數項級數
    1.級數的收斂性質2.正項級數及其審斂法3.一般項級數及其審斂法
    (十三)函數列與函數項級數
    1.一致收斂性2.一致收斂函數列與函數項級數的性質
    (十四)冪級數
    1冪級數的收斂區間、性質及運算2.函數的冪級數展開
    (十五)傅里葉級數
    1.以2π為周期的函數的傅里葉級數2.以2l為周期的函數的傅里葉級數3.正弦級數與余弦級數
    (十六)多元函數的極限與連續
    1.二元函數的極限2.二元函數的連續性
    (十七)多元函數微分學
    1.可微性與全微分、偏導數、可微性條件2.復合函數微分法3.方向導數與梯度4.泰勒公式與極值問題
    (十八)隱函數定理及其應用
    1.隱函數定理2.隱函數求導3.幾何應用4.條件極值
    (十九)含參量積分
    1.含參量正常積分2.含參量反常積分3.歐拉積分
    (二十)曲線積分
    1.第1型曲線積分的定義與計算2.第二型曲線積分的定義與計算3.兩類曲線積分的聯系
    (二一)重積分
    1.二重積分的概念2.直角坐標系下二重積分的計算3.格林公式·曲線積分與路線的無關性4.4二重積分的變量變換3.三重積分
    (二二)曲面積分
    1.第一型曲面積分的慨念與計算2.第二型曲面積分的慨念與計算3.兩類曲面積分的聯系4.高斯公式與斯托克斯公式
    四、考試要求
    （一）實數集與函數
    1．了解鄰域，上確界、下確界的概念和確界原理。
    2．掌握函數復合、基本初等函數、初等函數及常用特性。（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）
    3．掌握基本初等不等式及應用。
    （二）數列極限
    1．熟練掌握數列極限的ε-N定義。
    2．掌握收斂數列的常用性質。
    3．熟練掌握數列收斂的判別條件（單調有界原理、迫斂性定理、Cauchy準則、壓縮映射原理等）。
    4．能夠熟練求解各類數列的極限。
    （三）函數極限
    1．深刻領會函數極限的“ε-δ”定義及其它變式。
    2．熟練掌握函數極限存在的條件及判別。（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界等）
    3．熟練應用兩個重要極限求解較復雜的函數極限。
    4．理解無窮小量、無窮大量的概念；會應用等價無窮小求極限；熟悉等價無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質。
    （四）函數連續性
    1．掌握函數在某點及在區間上連續的幾種等價定義，尤其是ε-δ定義。
    2．熟悉函數間斷點及類型。
    3．熟練掌握閉區間上連續函數的三大性質及其應用。
    4．熟練掌握區間上一致連續函數的定義、判斷和應用。
    5．知道初等函數的連續性。
    （五）導數和微分
    1．掌握導數的定義、幾何意義，領悟其思想內涵；熟悉單邊導數概念及應用。
    2．掌握求導四則運算法則、熟記基本初等函數的導數。
    3．熟練掌握復合函數求導的鏈式法則。
    4．掌握參量函數、隱函數的求導法、對數求導法。
    5．熟練掌握乘積函數求導的Leibniz公式。
    6．掌握微分的概念，領悟其思想內涵；并會用微分進行近似計算。
    7．熟練掌握復合函數微分及一階微分形式不變性。
    8．理解連續、可導、可微之間的關系。
    9．熟練掌握高階導數的各種求解方法。
    （六）微分中值定理及其應用
    1．熟練掌握微分中值定理及其應用，會證明中值點的存在性問題。
    2．熟練運用洛必達法則求極限。
    3．熟練掌握單調區間、極值、最值的求法。
    4．熟練掌握Taylor公式思想、方法及應用。
    5．掌握曲線的凹凸性及拐點的求法，并掌握凸函數及性質。
    6．熟練應用函數單調性、凹凸性等等工具證明函數不等式。
    （七）實數完備性
    1．了解區間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點等概念的含義。
    2．掌握實數完備性各定理的具體內容，領悟其證明的思想內涵。
    3．掌握閉區間上連續函數有界性、最值性、介值性、一致連續性定理的證明。
    4．理解上極限、下極限的概念和等價敘述。
    （八）不定積分
    1．知道原函數與不定積分的概念。
    2．熟練掌握換元法、分部積分法。
    3．會計算有理函數的積分。
    4．會計算三角函數有理式、某些簡單無理式的積分。
    （九）定積分
    1．深刻領會定積分的定義和性質。
    2．深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。
    3．熟練掌握換元法、分部積分法計算定積分。
    4．知道可積條件和可積類。
    （十）定積分的應用
    1．熟練掌握平面圖形面積的計算。
    2．熟練掌握旋轉體或已知截面面積的體積。
    3．會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積。
    （十一）反常積分
    1．了解反常積分收斂性定義。
    2．熟練掌握反常積分斂散性判別法（Cauchy、Abel、Dirichlet三大判別法），重點在無窮積分。
    （十二）數項級數
    1．知道級數收斂和發散的定義、性質。
    2．熟練掌握正項級數收斂的各種判別法。（比較判別法、比式判別法、根式判別法、積分判別法等）
    3．熟練掌握條件收斂、絕對收斂及Leibniz、Abel、Dirichlet三大判別法。
    4．理解條件收斂、絕對收斂級數的特殊性質。
    （十三）函數列與函數項級數
    1．深刻理解函數列、函數項級數一致收斂的ε-N定義。
    2．熟練掌握函數列、函數項級數一致收斂的判別法。
    3．熟練掌握一致收斂函數列和一致收斂函數項級數的性質。
    （十四）冪級數
    1．掌握冪級數收斂域、收斂半徑以及和函數的求法，知道冪級數的若干性質。
    2．熟練掌握函數的冪級數展開的方法。
    3．會求冪級數的和函數及某些數項級數的和。
    （十五）傅里葉級數
    1．熟記以周期的付里葉系數公式，會求函數的傅里葉展式。
    2．掌握余弦級數，正弦級數的求法。
    3．理解收斂性定理，掌握Bessel不等式、Lebesgue引理等幾個重要定理。
    4．知道Parseval等式并運用其求某些數項級數的和。
    （十六）多元函數的極限與連續
    1．了解平面點集的若干概念、平面點集的完備性定理。
    2．掌握二元函數之二重極限、二次極限的定義和計算。
    3．掌握二元函數連續性及其性質。
    （十七）多元函數微分學
    1．掌握全微分和偏導數的概念、了解其幾何性質。
    2．會計算偏導數和全微分，會計算高階偏導數（尤其是二階偏導數）。
    3．熟練掌握多元復合函數求導的鏈式法則、理解一階全微分形式不變性。
    4．掌握二元函數連續、偏導數連續、可微、可偏導之間的多角關系。
    5．知道二元函數中值定理與Taylor公式。
    6．熟練掌握多元函數極值、最值的求解方法，并會運用于解決實際問題。
    7．了解方向導數與梯度及其幾何、物理意義。
    （十八）隱函數定理及其應用
    1．理解隱函數（組）定理。
    2．會求隱函數（組）的微分。
    3．會求空間曲線的切線與法平面，會求空間曲面的切平面與法線。
    4．熟練掌握條件極值的Lagrange乘數法。
    （十九）含參量積分
    1．掌握含參量正常積分的定義及性質。
    2．熟練掌握含參量反常積分一致收斂定義、判別法。
    3．熟練掌握一致收斂含參量反常積分的性質（連續性、可導性、可積性）。
    4．掌握Euler積分并用于計算某些反常積分；掌握用積分號下求導數等方法計算某些積分和反常積分。
    （二十）曲線積分
    1．理解第一、二型曲線積分的概念及物理意義。
    2．熟練掌握兩型曲線積分的基本參數計算公式。
    3．熟練掌握格林公式。
    4．掌握第二型曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分式的原函數。
    （二一）重積分
    1．知道二重積分、三重積分定義與性質，理解分割、求和、取極限三部曲內涵。
    2．熟練掌握二重積分、三重積分的直角坐標計算---化為累次積分。
    3．熟練掌握二重積分、三重積分的變量替換。重點是極坐標變換、柱坐標變換球坐標變換及廣義球坐標變換。
    4．知道重積分幾何應用，會求曲面面積、重心坐標等。
    （二二）曲面積分
    1．理解第一、二型曲面積分的概念及物理意義；了解兩種曲面積分的轉換關系。
    2．掌握兩型曲面積分的直角坐標計算公式。
    3．熟練掌握Gauss公式和Stokes公式
    五、主要參考教材（參考書目）
    《數學分析》（第四版），華東師大數學系編，高等教育出版社。
河南科技大學

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